Question

16．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c同時(shí)滿足下列條件：（1）對(duì)稱軸x=1；（2）最大值為15；（3）二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的立方和為17．求此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸及最大值得到b=-2a，c=a+15，從而原函數(shù)變成y=ax²-2ax+a+15．可設(shè)方程ax²-2ax+a+15=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂，從而根據(jù)韋達(dá)定理得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=a+15}\end{array}\right.$，再根據(jù)${{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=17$即可求出a，從而得出二次函數(shù)解析式．

解答 解：由條件（1）（2）得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=1}\\{\frac{4ac-^{2}}{4a}=15}\end{array}\right.$；
∴b=-2a，c=a+15；
∴y=ax²-2ax+a+15，設(shè)ax²-2ax+a+15=0的兩根為x₁，x₂；
則根據(jù)韋達(dá)定理：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{a+15}{a}}\end{array}\right.$；
根據(jù)條件（3），$17={{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]$=$2（4-\frac{3a+45}{a}）$；
∴解得a=-6；
∴y=-6x²+12x+9．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸及最大值的計(jì)算公式，立方和及完全平方公式，以及韋達(dá)定理．