Question

11．已知命題p：方程ax²+ax-2=0在[-1，1]上只有一個解；命題q：只有一個實數(shù)x滿足x²+2ax+2a≤0．若命題“p∨q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對方程a²x²+ax-2=0進行因式分解是解決該題的關(guān)鍵，得出方程的根（用a表示出）．在[-1，1]上只有一個解，得出關(guān)于a的不等式，求出命題p為真的a的范圍，利用x²+2ax+2a≤0相應(yīng)的二次方程的判別式等于0得出關(guān)于a的方程，求出a，再根據(jù)“p或q”是假命題得出a的范圍．

解答 解：由題意a≠0．
若p正確，a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0的解為$\frac{1}{a}$或-$\frac{2}{a}$，
若方程在[-1，1]上有解，只需滿足|$\frac{1}{a}$|≤1且|-$\frac{2}{a}$|＞1，
解得a∈（-2，-1]∪[1，2），
故p錯誤時：a∈（-∞，-2]∪（-1，1）∪[2，+∞），
若q正確，即只有一個實數(shù)x滿足x²+2ax+2a≤0，
則有△=4a²-8a=0，即a=0或2，
故q錯誤時，a∈（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）
若p或q是假命題，則p和q都是假命題，
綜上所述：a∈（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，1）∪（2，+∞），
所以a的取值范圍是：（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）

點評 本題考查命題真假的判斷，利用因式分解求出方程的根是解決本題的關(guān)鍵，再根據(jù)一元二次不等式與二次方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化相應(yīng)的不等式問題，考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生對復(fù)合命題真假的判斷準則．