Question

8．不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)k取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分2種情況討論：1°若k²-1=0，則k=±1，分別驗(yàn)證k=1或-1時(shí)，是否能保證該不等式滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
2°若k²-1≠0，不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0為二次不等式，分析可得有$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-1＜0}\\{△=4（k+1）^{2}+4（{k}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，解可得此時(shí)k的范圍，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，分2種情況討論：
1°若k²-1=0，則k=±1，
當(dāng)k=1時(shí)，不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0為4x-1＜0，不能滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則k=1不滿足題意，
當(dāng)k=-1時(shí)，不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0為-1＜0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則k=1滿足題意，
2°若k²-1≠0，不等式（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0為二次不等式，
要保證（k²-1）x²+2（k+1）x-1＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，必須有$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-1＜0}\\{△=4（k+1）^{2}+4（{k}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，
解可得-1＜k＜0，
綜合可得-1≤k＜0，
故實(shí)數(shù)k取值范圍為[-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，注意要討論二次項(xiàng)的系數(shù)．