Question

1．過(guò)拋物線的頂點(diǎn)任作互相垂直的兩條弦，交拋物線于兩點(diǎn)，求證：這兩點(diǎn)所連線段中點(diǎn)的軌跡是拋物線．

Answer 1

分析 先設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）及中點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)的定義得到三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由OA⊥OB得到₁x₂+y₁y₂=0，結(jié)合A、B兩點(diǎn)在拋物線上滿足拋物線方程可得到y(tǒng)₁y₂、y₁²+y₂²的關(guān)系消去x₁、y₁、x₂、y₂可得到最后答案．

解答 證明：不妨設(shè)拋物線y²=2px（p＞0），設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），AB中點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0．
∴（y₁y₂）²=4p²x₁x₂=-4p²y₁y₂
∴y₁y₂=-4p²
∵y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
∴（y₁+y₂）²-2y₁y₂=2p（x₁+x₂）
∴4y₀²+8p²=4px₀
即y₀²=px₀-2p²
∴中點(diǎn)軌跡方程為：y²=px-2p²，
∴這兩點(diǎn)所連線段中點(diǎn)的軌跡是拋物線．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和拋物線的綜合問(wèn)題，考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．