Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i），（ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題，得對(duì)任意上恒成立，即對(duì)任意上恒成立，分，，三種情況考慮，即可得到本題答案；

（2）（i）函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，通過(guò)考慮在的取值范圍，即可得到本題答案；

（ⅱ）由題，可證得，又由（i）得，綜上，即可得到本題答案.

（1）據(jù)題意，得對(duì)任意上恒成立，

∴對(duì)任意上恒成立.

令，則.

①當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)遞增函數(shù).

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，若，則，在上為單調(diào)遞增函數(shù).

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，若，則，在上為單調(diào)遞減函數(shù).

又，

∴當(dāng)時(shí)，，符合題意.

綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（2）令，，∴.

令．

分析知，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（i）引入，則.

分析知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，

∴，

即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（ⅱ）∵，，

∴．

不妨設(shè)，則，

∴

．

令，則，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)．

∴，即．

∴．

∴，

∴，

∴．

又由（i），得，∴

∴．