Question

19．圓x²+y²-4x+2y+c=0與y軸交于A、B兩點(diǎn)，圓心為P，若∠APB=90°，求c的值．

Answer 1

分析 因?yàn)閳A與y軸交于A，B兩點(diǎn)，令x=0求出圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出直線PA和直線PB的斜率，因?yàn)镻A與PB垂直得到斜率乘積等于-1，得到方程求出c即可．

解答 解：在圓的方程中令x=0得到y(tǒng)²+2y+c=0，解得y=-1±$\sqrt{1-c}$．
且圓的方程變?yōu)椋海▁-2）²+（y+1）²=5-c，
圓心坐標(biāo)為（2，-1），設(shè)A在B的上邊，
則A（0，-1+$\sqrt{1-c}$），B（0，-1-$\sqrt{1-c}$）
則直線PA的斜率k₁為-$\frac{\sqrt{1-c}}{2}$，直線PB的斜率k₂為$\frac{\sqrt{1-c}}{2}$，
因?yàn)椤螦PB=90°，所以PA⊥PB得k₁•k₂=-1；
即-$\frac{\sqrt{1-c}}{2}$•$\frac{\sqrt{1-c}}{2}$=-1；
解得c=-3．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生綜合運(yùn)用直線與圓方程的能力，以及兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1的應(yīng)用，屬于中檔題．