Question

4．設(shè)復(fù)數(shù)z_n=x_n+i•y_n，其中x_ny_n∈R，n∈N^*，i為虛數(shù)單位，z_n+1=（1+i）•z_n，z₁=3+4i，復(fù)數(shù)z_n在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z_n．
（1）求復(fù)數(shù)z₂，z₃，z₄的值；
（2）證明：當(dāng)n=4k+1（k∈N^*）時(shí)，$\overrightarrow{O{Z_n}}$∥$\overrightarrow{O{Z_1}}$；
（3）求數(shù)列{x_n•y_n}的前100項(xiàng)之和．

Answer 1

分析 （1）利用∵z_n+1=（1+i）•z_n，z₁=3+4i，即可得出；
（2）由已知z_n+1=（1+i）•z_n，得${z_n}={（1+i）^{n-1}}•{z_1}$，當(dāng)n=4k+1時(shí)，（1+i）^n-1=（-4）^k，即可證明．
（3）由${z_{n+4}}={（1+i）^4}{z_n}=-4{z_n}$，可得x_n+4=-4x_n，y_n+4=-4y_n，x_n+4y_n+4=16x_ny_n，即可得出．

解答 （1）解：∵z_n+1=（1+i）•z_n，z₁=3+4i，
∴z₂=（1+i）（3+4i）=-1+7i，z₃=-8+6i，z₄=-14-2i．
（2）證明：由已知z_n+1=（1+i）•z_n，得${z_n}={（1+i）^{n-1}}•{z_1}$，
當(dāng)n=4k+1時(shí)，（1+i）^n-1=（1+i）^4k=（-4）^k，
令λ=（-4）^k，則z_n=λ•z₁，
即則存在非零實(shí)數(shù)λ=（-4）^k（k∈N^*），使得$\overrightarrow{O{Z_n}}=λ\overrightarrow{O{Z_1}}$．
∴當(dāng)n=4k+1（k∈N^*）時(shí)，$\overrightarrow{O{Z_n}}$∥$\overrightarrow{O{Z_1}}$． 
（3）解：∵${z_{n+4}}={（1+i）^4}{z_n}=-4{z_n}$，
故x_n+4=-4x_n，y_n+4=-4y_n，
∴x_n+4y_n+4=16x_ny_n，
又x₁y₁=12，x₂y₂=-7，x₃y₃=-48，x₄y₄=28，
∴x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+…+x₁₀₀y₁₀₀=（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+x₄y₄）+（x₅y₅+x₆y₆+x₇y₇+x₈y₈）+…+（x₉₇y₉₇+x₉₈y₉₈+x₉₉y₉₉+x₁₀₀y₁₀₀）
=$（12-7-48+28）•\frac{{1-{{16}^{25}}}}{1-16}=1-{2^{100}}$，
∴數(shù)列{x_ny_n}的前100項(xiàng)之和為1-2¹⁰⁰．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義、向量共線定理、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．