Question

1．已知二項(xiàng)式（2x+1）ⁿ的各項(xiàng)系數(shù)和為a_n，展開式x的系數(shù)為b_n，設(shè)C_n=a_nb_n，則數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)的和為T_n，則為T₂₀₁₄（　　）

• A． 1+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁵
• B． $\frac{3}{2}$+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁵
• C． 1+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁴
• D． $\frac{3}{2}$+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁴

Answer 1

分析 由條件求得a_n和b_n 的值，可得C_n=a_nb_n的解析式，再利用錯(cuò)位相加法求得數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)的和為T_n的值．

解答 解：令x=1，可得二項(xiàng)式（2x+1）ⁿ的各項(xiàng)系數(shù)和為可得a_n=3ⁿ，
展開式x的系數(shù)為b_n =${C}_{n}^{n-1}$•2=2n，C_n=a_nb_n=2n•3ⁿ，
由T₂₀₁₄ =2•3¹+4•3²+6•3³+…+4028•3²⁰¹⁴ ①，
可得3•T₂₀₁₄=2•3²+4•3³+6•3⁴+…+4026•3²⁰¹⁴+4028•3²⁰¹⁵ ②，
①-②可得-2T₂₀₁₄=2•3¹+2•3²+2•3³+…+2•3²⁰¹⁴-4028•3²⁰¹⁵，
∴T₂₀₁₄=$\frac{3}{2}$+$\frac{4027}{2}$•3²⁰¹⁵，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，用錯(cuò)位相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．