Question

9．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=23，a₂₅=-22，
（1）數(shù)列{a_n}的前多少項(xiàng)和最大？
（2）求{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=23}\\{{a}_{1}+24d=-22}\end{array}\right.$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知，對(duì)n的值分n≤17、n≥18兩種情況進(jìn)行討論即可．

解答 解：（1）依題意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=23}\\{{a}_{1}+24d=-22}\end{array}\right.$，
解得：a₁=50，d=-3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-3n+53，
令a_n＞0，得：n＜$\frac{53}{3}$，
∴當(dāng)n≤17時(shí)a_n＞0，當(dāng)n≥18時(shí)a_n＜0，
∴數(shù)列{a_n}的前17項(xiàng)和最大；
（2）由（1）可知：需對(duì)n的值進(jìn)行討論：
①當(dāng)n≤17時(shí)，$|{a_1}|+|{a_2}|+…+|{a_n}|={a_1}+{a_2}+…+{a_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=$-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{103}{2}n$；
②當(dāng)n≥18時(shí)|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…a₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n
=2（a₁+a₂+…+a₁₇）-（a₁+a₂+…+a_n）
=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{103}{2}n+884$；
∴當(dāng)n≤17，n∈N₊時(shí)，{|a_n|}前n項(xiàng)和為：-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{103}{2}$n；
當(dāng)n≥18，n∈N₊時(shí)，{|a_n|}前n項(xiàng)和為：$\frac{3}{2}$n²-$\frac{103}{2}$n+884．
即數(shù)列{|a_n|}前n項(xiàng)和T_n=$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{103}{2}n，n≤17\\ \frac{3}{2}{n^2}-\frac{103}{2}n+884，n≥18\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類(lèi)討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．