Question

20．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$滿足條件$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，求證：△ABC為正三角形．

Answer 1

分析 利用向量的運(yùn)算法則將條件中的向量用三角形的各邊對(duì)應(yīng)的向量表示，得到邊的關(guān)系，得出三角形的形狀．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$，∴（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）²=$\overrightarrow{OC}$²=1，∴cos∠AOB=-$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{AB}$²=（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）²=2-2cos∠AOB=3，∴AB=$\sqrt{3}$，
同理BC=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3}$．
∴△ABC為正三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，求出各邊長(zhǎng)度是關(guān)鍵．