Question

17．若公比為q的等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且滿足a_n=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n-2}}{2}$，（n=3，4，5…）
（1）求q的值；
（2）設b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）運用等比數(shù)列的通項公式，化簡整理即可得到；
（2）討論公比q，由等差數(shù)列的求和公式和錯位相減法，即可得到所求．

解答 解：（1）首項a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n-2}}{2}$，
可得2q^n-1=q^n-2+q^n-3，
即為2q²-q-1=0，解得q=1或-$\frac{1}{2}$；
（2）當q=1時，b_n=n•a_n=n，
前n項和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
當q=-$\frac{1}{2}$，b_n=n•a_n=n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
S_n=1+2•（-$\frac{1}{2}$）+3•（-$\frac{1}{2}$）²+…+n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
-$\frac{1}{2}$S_n=1•（-$\frac{1}{2}$）+2•（-$\frac{1}{2}$）²+3•（-$\frac{1}{2}$）³+…+n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
相減可得$\frac{3}{2}$S_n=1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+…+（-$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$-n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得S_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9}$•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ．
綜上可得，q=1時，S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
q=-$\frac{1}{2}$，S_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9}$•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．