Question

2．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{x}$，若不等式f（x）＜x在區(qū)間[c，+∞）（c為正常數(shù)）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$\left\{\begin{array}{l}{a＜2\sqrt{2}\\;0＜c＜\sqrt{2}}\\{a＜c+\frac{2}{c}\\;c≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 不等式可整理為a＜$\frac{2}{x}$+x，構(gòu)造函數(shù)求出g（x）=$\frac{2}{x}$+x的最小值即可．

解答 解：f（x）＜x恒成立，
∴a＜$\frac{2}{x}$+x，
令g（x）=$\frac{2}{x}$+x，
當(dāng)0＜c＜$\sqrt{2}$時(shí)，g（x）≥2$\sqrt{2}$，
∴a＜2$\sqrt{2}$；
當(dāng)c≥$\sqrt{2}$時(shí)，
g（x）≥c+$\frac{2}{c}$，
∴a＜c+$\frac{2}{c}$，
故a的范圍為$\left\{\begin{array}{l}{a＜2\sqrt{2}\\;0＜c＜\sqrt{2}}\\{a＜c+\frac{2}{c}\\;c≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 考查了恒成立問(wèn)題和抽象函數(shù)g（x）=$\frac{2}{x}$+x的最小值討論問(wèn)題．