Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x≤0\\ \frac{{\sqrt{x}}}{e^x}，x＞0\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）-a+1=0恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $（1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1）$
• B． $（1，\frac{1}{e}+1）$
• C． $（0，\frac{1}{2e}+1）$
• D． $（\frac{1}{e}，1）$

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可求解．

解答 解：當x＞0時，f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{{e}^{x}}$，
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$，x$∈（0，\frac{1}{2}）$時，f′（x）＞0，x$∈（\frac{1}{2}，+∞）時$，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
所以函數(shù)f（x）的圖形如下：
根據(jù)圖象可得：方程f（x）-a+1=0恰有3個不同的實數(shù)根時，0＜a-1＜f（$\frac{1}{2}$）
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$，實數(shù)a的取值范圍為（1，1+$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$）．
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的零點的定義及求法，考查了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．