Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{{9^x}-{3^x}}$．
（1）求f（x）定義域和值域；
（2）若 $f（x）＞\sqrt{6}$，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令9^x-3^x≥0得出f（x）的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）的單調(diào)性，從而得出f（x）的值域；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性得出不等式，從而得出x的范圍．

解答 解：（1）由式子有意義得：9^x-3^x≥0，即（3^x）²-3^x≥0，
解得：3^x≥1或3^x≤0（舍），∴x≥0，
∴f（x）的定義域是[0，+∞）．
設(shè)y=x²-x，則y=x²-x在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又y=3^x是增函數(shù)，
∴y=9^x-3^x在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）=$\sqrt{{9}^{x}-{3}^{x}}$在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又f（0）=0，
∴f（x）的值域是[0，+∞）．
（2）由$f（x）＞\sqrt{6}$得9^x-3^x＞6，∴3^x＞3，∴x＞1，
∴x的范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，定義域與值域的計(jì)算，屬于中檔題．