Question

5．設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=log₂（x²+2x+a），x∈[-3，3]．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）的最大值為5，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，a＞1，?x∈[-3，3]，都有g(shù)（x）＞0．利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得：函數(shù)f（x）的最大值為f（-3）與f（3）中的最大值，最小值為f（-1）．

解答 解：（1）令g（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，∵a＞1，∴?x∈[-3，3]，都有g(shù)（x）＞0．
可得：x∈[-3，-1]時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
可得函數(shù)f（x）=log₂[（x+1）²+a-1]在[-3，-1]上單調(diào)遞減．
x∈[-1，3]時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
可得函數(shù)f（x）=log₂[（x+1）²+a-1]在[-1，3]上單調(diào)遞增．
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得：
函數(shù)f（x）的最大值為f（-3）與f（3）中的最大值，最小值為f（-1）．
f（-3）=log₂（3+a），f（3）=log₂（15+a）．
∴f（-3）＜f（3），∴f（3）=log₂（15+a）=5，解得a=17．
∴f（x）的最小值f（-1）=log₂（a-1）=log₂16=4．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．