Question

4．某高校在2015年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．

組號	分組	頻數(shù)	頻率
第1組	[160，165）	5	0.050
第2組	[165，170）	a	0.350
第3組	[170，175）	30	b
第4組	[175，180）	20	0.200
第5組	[180，185]	10	0.100
合計		100	1.00

（Ⅰ）求出頻率分布表中a，b的值，再在答題紙上完成頻率分布直方圖；
（Ⅱ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本成績的中位數(shù)；
（Ⅲ）高校決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，再從6名學生中隨機抽取2名學生由A考官進行面試，求第4組至少有一名學生被考官A面試的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布表，能求出a，b，由此能作出頻率分布直方圖．
（Ⅱ）求出[160，170）的頻率，[170，175）的頻率為0.3，由此能求出樣本成績的中位數(shù)．
（Ⅲ）第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．設第3組的3位同學為A₁，A₂，A₃，第4組的2位同學為B₁，B₂，第5組的1位同學為C₁，由此列舉法能求出第4組至少有一名學生被考官A面試的概率．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布表，得：
a=100×0.35=35，
b=$\frac{30}{100}$=0.30．
頻率分布直方圖為：

（Ⅱ）∵[160，170）的頻率為0.05+0.35=0.4，[170，175）有頻率為0.3，
∴樣本成績的中位數(shù)為：170+$\frac{0.5-0.4}{0.3}×5$=$\frac{515}{3}$．
（Ⅲ）∵第3、4、5組共有60名學生，
∴利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為：
第3組：$\frac{30}{60}×6=3$人，第4組：$\frac{20}{60}×6=2$人，第5組：$\frac{10}{60}×6=1$人，
∴第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．
設第3組的3位同學為A₁，A₂，A₃，第4組的2位同學為B₁，B₂，第5組的1位同學為C₁，
則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），
第4組至少有一位同學入選的有9種可能，
∴第4組至少有一名學生被考官A面試的概率為p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

點評 本題頻率分布表、頻率分布直方圖的應用，考查中位數(shù)、概率的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想，是基礎題．