Question

16．如圖，點(diǎn)A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別在第一、二象限，點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB是正三角形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），記∠COA=α．
（Ⅰ）求$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A的坐標(biāo)，利用任意角的三角函數(shù)定義求出sinα與cosα的值，原式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（Ⅱ）由三角形AOB為等邊三角形，得到∠AOB=60°，表示出∠COB，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答 解：（Ⅰ）∵A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$=$\frac{1+2sinαcosα}{2co{s}^{2}α}$=$\frac{49}{18}$；
（Ⅱ）∵△AOB為正三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠COA=α，
∴cos∠COB=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．