Question

6．在銳角△ABC中，三角形內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosA，-sinA），a=$\sqrt{7}$，且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{1}{2}$
（1）若b=3，求△ABC的面積；
（2）求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意和數(shù)量積運(yùn)算易得A=60°，由余弦定理可得c值，代入面積公式可得；
（2）由（1）和余弦定理可得7=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，由基本不等式可得（b+c）²-7=3bc≤3$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，解關(guān)于b+c的不等式可得．

解答 解：（1）由題意可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cos²A-sin²A=cos2A=$-\frac{1}{2}$，
∴cos2A=-$\frac{1}{2}$，∵A為銳角，則2A=120°，解得A=60°，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
代入數(shù)據(jù)可得7=9+c²-6c×$\frac{1}{2}$，
解得c=1或c=2．
當(dāng)c=1時(shí)cosB=$\frac{1+7-9}{2×1×\sqrt{7}}$＜0，
不滿足三角形為銳角三角形，故c=2
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）和余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∴（b+c）²-7=3bc≤3$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，
解得b+c≤2$\sqrt{7}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\sqrt{7}$時(shí)取等號(hào)，
∴b+c的最大值為2$\sqrt{7}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形，涉及余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．