Question

如圖，過圓O的直徑AC的端點(diǎn)A作直線AB、AD分別交圓O于另一點(diǎn)B和點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，已知∠EAD=∠CAD．
（Ⅰ）求證：DE是圓O的切線；
（Ⅱ）若DE=6，AE=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線的判定定理的證明,與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）連結(jié)OD，則OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．由此能推導(dǎo)出DE⊥OD．從而證明DE是圓O的切線．
（Ⅱ）因?yàn)镈E是圓O的切線，所以DE²=EA•EB，因?yàn)镺D∥AB，所以O(shè)到AB的距離等于D到AB的距離，由此能求出△ABC的面積．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OD，則OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．
因?yàn)椤螮AD=∠OAD，所以∠EAD=∠ODA．
因?yàn)椤螮AD+∠EDA=90°，∠EAD+∠ODA=90°，即DE⊥OD．
所以DE是圓O的切線．（5分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镈E是圓O的切線，所以DE²=EA•EB，
即6²=3（3+AB），所以AB=9．
因?yàn)镺D∥AB，
所以O(shè)到AB的距離等于D到AB的距離，即為6，
又因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，C到AB的距離等于12
故△ABC的面積S=

1

2

AB•AC=54S=

1

2

AB•BC=54．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的切線的證明，考查三角形的面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．