Question

已知函數(shù)f（x）=loga(

2-x

2+x

)，且f(-

2

3

)=1．
（Ⅰ）求a的值和函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）代入函數(shù)式，解方程可得a=2，再由對數(shù)真數(shù)大于0，解得定義域；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．運用函數(shù)的奇偶性的定義，先觀察定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f（-x），與f（x）比較即可．

解答： 解：（Ⅰ）f(-

2

3

)=1即為log_a

2+ 2 3

2- 2 3

=1，
即有a=2，
則有f（x）=log₂

2-x

2+x

，
由

2-x

2+x

＞0，解得，-2＜x＜2，
則定義域為（-2，2）；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
理由如下：定義域為（-2，2）關(guān)于原點對稱，
f（-x）+f（x）=log₂

2+x

2-x

+log₂

2-x

2+x

=log₂1=0，
即有f（-x）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的定義域的求法，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．