Question

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BC₁，DC的中點(diǎn)．
（1）求直線DE與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求證：AF⊥DE．

Answer 1

分析 （1）過E作EF′⊥BC，交BC于F′，連接DF′，得到∠EDF′是直線DE與平面ABCD所成的角，然后再在三角形EDF′中求出此角即可．
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AF⊥平面DEF′，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的定義，可得AF⊥DE．

解答 解：（1）過E作EF′⊥BC，交BC于F′，連接DF′．

∵EF′⊥BC，CC₁⊥BC
∴EF′∥CC₁，而CC₁⊥平面ABCD
∴EF′⊥平面ABCD，
∴∠EDF′是直線DE與平面ABCD所成的角
由題意，得EF′=$\frac{1}{2}$CC1=1．
∵CF′=$\frac{1}{2}$CB=1，
∴DF′=$\sqrt{5}$
∵EF′⊥DF′，
∴tan∠EDF′=EF′：DF′=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
故直線DE與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
證明：（2）由F為DC的中點(diǎn)，可得△ADF≌△DCF′，
故∠DAF=∠CDF′，故∠DAF+∠ADF′=90°，
故AF⊥DF′，
又由EF′∥CC₁，而CC₁⊥平面ABCD
可得：EF′⊥平面ABCD
又由AF?平面ABCD可得EF′⊥AF，
又∵DF′∩EF′=F′，DF′，EF′?平面DEF′，
∴AF⊥平面DEF′，
又由DE?平面DEF′，
∴AF⊥DE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面之間所成角，線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題