Question

已知點(diǎn)P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PA|=2|PB|，設(shè)PD₁與平面ABCD所成角為θ，則θ的最大值為（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：先確定點(diǎn)P的軌跡，再利用正方體的幾何性質(zhì)解決．

解答： 解：以B為原點(diǎn)，BC，BA，BB₁，分別為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y，z），A（0，2，0），|PA|=2|PB|，∴

(x-0)2+(y-2)2+(z-0)2

=

x2+y2+z2

∴x2+(y+

2

3

)2+z2=

16

9

，∴點(diǎn)P的軌跡為：以點(diǎn)Q為球心，以半徑為

4

3

的球與正方體表面的交線，即為如圖的弧段EMG，GSF，F(xiàn)NE，
要使得PD₁與底面ABCD所成角最大，則PD₁與底面ABCD
的交點(diǎn)R與點(diǎn)D的距離最短，從而點(diǎn)P在弧段ENF上，故
點(diǎn)P在弧段ENF上，且在QD上．設(shè)正方體的邊長為2，從而DQ=

10

3

-

4

3

=2，從而tanθ最大值為1，故θ最大值為

π

4

．
故選B

點(diǎn)評：本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡，線面角的定義，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬中檔題．