如圖，B，C兩點(diǎn)在雙曲線x2-
y2
4
=1的右支上，線段BC的垂直平分線DA交y軸于點(diǎn)A（0，4），若cos∠BAC=-
7
15
，則點(diǎn)A到直線BC的距離d=
 
．
考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：確定D的坐標(biāo)，求出BC，AD，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論．
解答： 解：設(shè)BC的斜率為k，B（x1，y1），C（x2，y2），D（x0，y0），
∵B，C兩點(diǎn)在雙曲線x2-
y2
4
=1的右支上，
∴kOD=
y1+y2
x1+x2
=
4(x1-x2)
y1-y2
=
4
k
，
直線AD的方程為y=-
1
k
x+4，可得D（
4k
5
，
16
5
），
∴AD=
4
5
k2+1
，
令∠BAD=α，∵cos∠BAC=-
7
15
，∴cosα=
2
15
15
，tanα=
11
2
．
∴BC=
4
11
5
k2+1

又y=kx-
4k2
5
+
16
5
代入到雙曲線方程可得4x2-（kx-
4k2
5
+
16
5
）2=4
即（4-k2）x2-2k（-
4k2
5
+
16
5
）x-（-
4k2
5
+
16
5
）2-4=0
∴x1+x2=
8
5
k，x1x2=
-16k4+128k2-356
25(4-k2)

又BC=
4
11
5
k2+1

∴
-16k4+128k2-356
25(4-k2)
=
16k2-44
25
，
∴20k2-180=0，
∴k2=9
∴AD=
4
10
5
．
故答案為：
4
10
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，有難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)（3，-2）與點(diǎn)（-1，2）重合，點(diǎn)（7，3）與點(diǎn)（m，n）重合，則mn=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在區(qū)間[0，9]上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)x，則該實(shí)數(shù)x滿足不等式1≤|x|≤2的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用二分法求函數(shù)f（x）=lgx+x-3的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如表：
f（2）≈-0.699f（3）≈0.477f（2.5）≈-0.102f（2.75）≈0.189
f（2.625）≈0.044f（2.5625）≈-0.029f（2.59375）≈0.008f（2.57813≈-0.011
根據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程lgx=3-x的一個(gè)近似解（精確到0.1）為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
2x3+3x2+1(x≤0)
eax(x＞0)
在[-2，2]上的最大值為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法正確的有
 

（1）在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB；
（2）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=1-a•2n-1，則a=1；
（3）已知
1≤x+y≤5
-1≤x-y≤1
，則4x-2y∈[-4，8]；
（4）函數(shù)f（x）=x+
1
x+1
的最小值為1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列函數(shù)中，周期為π且圖象關(guān)于直線x=
π
3
對(duì)稱的函數(shù)是（　�。�
A、f（x）=2sin（
x
2
+
π
3
）
B、f（x）=2sin（2x+
π
3
）
C、f（x）=2sin（
x
2
-
π
6
）
D、f（x）=2sin（2x-
π
6
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，b＞0則下列不等中不恒成立的是（　�。�
A、a+
1
a
≥2
B、a2+b2≥2（a+b-1）
C、
|a-b|
≥
a
-
b
D、a3+b3≥2ab2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PA|=2|PB|，設(shè)PD1與平面ABCD所成角為θ，則θ的最大值為（　�。�
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

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同步練習(xí)冊(cè)答案