Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意判斷出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式化簡；
（2）由（1）和條件求出b_n，利用錯(cuò)位相減可求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=2a_n得，

an+1

an

=2，
則數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
Sn=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2
（2）由（1）得，b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及錯(cuò)位相減求數(shù)列的和的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力．