Question

1．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）證明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（3）若 f（2a+1）+f（4a-3）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．（提示：可以直接利用前兩小題的結(jié)論）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，計算f（-x）+f（x）=0，（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是R，
f（-x）=1-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=1-$\frac{{2}^{x+1}}{{2}^{x}+1}$，
而f（-x）+f（x）=2-2=0，f（-x）=-f（x），
故f（x）在R是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=2（$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）
=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由（1）（2）得：-f（4a-3）=f（3-4a），
f（2a+1）+f（4a-3）＞0，
即f（2a+1）＞-f（4a-3）=f（3-4a），
∴2a+1＞3-4a，解得：a＞$\frac{2}{7}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．