Question

17．已知f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，不等式f（2^x）-k•2^x≥0，在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 運(yùn)用參數(shù)分離可得k≤1+（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$對(duì)x∈[-1，1]上恒成立，令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則$\frac{1}{2}$≤t≤2，再用配方，結(jié)合二次函數(shù)的值域求法，求得最小值，即可得到k的范圍．

解答 解：不等式f（2^x）-k•2^x≥0即為
2^x+2^-x-2-k•2^x≥0，即有
k≤1+（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$對(duì)x∈[-1，1]上恒成立，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則$\frac{1}{2}$≤t≤2，
即有k≤1+t²-2t=（t-1）²的最小值．
當(dāng)t=1時(shí)，（t-1）²取得最小值，且為0，
即有k≤0，
則k的范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問題，主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，注意運(yùn)用參數(shù)分離以及換元法，屬于中檔題．