Question

設(shè)f（x）=

-2x+1

2x+1+a

（a為實(shí)常數(shù)）
（I）當(dāng)a=1時(shí)，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，若f（x）＜k對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）計(jì)算f（1），f（-1），判定是否相等；
（II）判定函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，
∴f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

．
∴f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)．
（Ⅱ）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
從而-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
要使f（x）＜k對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，須k≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．