Question

已知橢圓過點，且離心率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知過點的直線與該橢圓相交于A、B兩點，試問：在直線上是否存在點P，使得是正三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）橢圓的方程為.（2）存在符合題意的點.

【解析】

試題分析：（1）由題意得 2分

解得

（2）討論當直線的斜率為0時，不存在符合題意的點；

當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為,

代入，整理得,

設(shè)，，應用韋達定理得到，,

設(shè)存在符合題意的點，

從而弦長

,

設(shè)線段的中點，則，

所以,

根據(jù)是正三角形，得到，且,

由得,

得到,

由得關(guān)于的方程，

解得..

（1）由題意得 2分

解得 4分

所以橢圓的方程為. 5分

（2）當直線的斜率為0時，不存在符合題意的點； 6分

當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為,

代入，整理得,

設(shè)，，則，,

設(shè)存在符合題意的點，

則

, 8分

設(shè)線段的中點，則，

所以,

因為是正三角形，所以，且, 9分

由得即，所以,

所以, 10分

由得，

解得，所以. 12分

由得,

所以,

所以存在符合題意的點. 14分

考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，三角形的性質(zhì)，分類討論思想.