Question

2．已知A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），若四邊形PABN的周長最小，則△APN的外接圓的圓心坐標(biāo)是$（3，-\frac{9}{8}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，列出四邊形PABN的周長關(guān)于a的表達(dá)式，得到x軸上的點(diǎn)（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和最小時(shí)，四邊形PABN的周長也最�。�利用對稱思想結(jié)合直線方程的求法，可得a值為$\frac{5}{2}$時(shí)，四邊形PABN的周長最�。畯亩�得到P、N的坐標(biāo)，再用直線方程的一般式，求出經(jīng)過三點(diǎn)A、P、N的圓方程，從而得到圓心的坐標(biāo)．

解答 解：四邊形PABN的周長為
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（4-1）^{2}+（0+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$+1
=$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{13}$1，
只需求出$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$的最小值時(shí)的a值．
由于$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（0-1）^{2}}$，
表示x軸上的點(diǎn)（a，0）與（1，3）和（3，1）距離之和，只需該距離之和最小即可．
利用對稱的思想，可得該距離之和的最小值為（1，-3）與（3，1）間的距離，
且取得最小的a值為E（1，-3）與F（3，1）確定的直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵直線EF的斜率k=$\frac{1+3}{3-1}$=2，∴直線EF方程為y+3=2（x-1），化簡得y=2x-5，
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，所以此時(shí)a值為$\frac{5}{2}$
由以上的討論，得四邊形PABN的周長最小時(shí)，P（$\frac{5}{2}$，1），N（$\frac{7}{2}$，1）
設(shè)過三點(diǎn)A、P、N的圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
可得$\left\{\begin{array}{l}{1+4+D-2E+F=0}\\{\frac{25}{4}+1+\frac{5}{2}D+E+F=0}\\{\frac{49}{4}+1+\frac{7}{2}D+E+F=0}\end{array}\right.$，解之得D=-6，E=$\frac{9}{\;}$，F(xiàn)=$\frac{11}{2}$
∴過三點(diǎn)A、P、N的圓方程為x²+y²-6x+$\frac{9}{4}$y+$\frac{11}{2}$=0，可得圓心坐標(biāo)為（3，-$\frac{9}{8}$）
故答案為：（3，-$\frac{9}{8}$）．

點(diǎn)評 本題以四邊形周長取最小值為載體，求經(jīng)過三點(diǎn)圓的圓心坐標(biāo)，著重考查了直線的方程、圓方程求法等知識(shí)，屬于中檔題．