Question

13．設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-3y≥-2\\ 3x-3y≤4\\ x+y≥1\end{array}\right.$，若x²+9y²≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為$\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求出z=x²+9y²的最小值即可，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=x²+9y²，則z＞0，
即$\frac{{x}^{2}}{z}+\frac{{y}^{2}}{\frac{z}{9}}$=1，則對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
由圖象知當(dāng)直線(xiàn)x+y=1與橢圓相切時(shí)，z最小，
將y=1-x代入z=x²+9y²，整理得10x²-18x+9-z=0，
則判別式△=18²-4×10（9-z）=0，
解得z=$\frac{9}{10}$，
即z的最小值為$\frac{9}{10}$，
則a≤$\frac{9}{10}$，
則a的最大值為$\frac{9}{10}$，
故答案為：$\frac{9}{10}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求z=x²+9y²的最小值，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．