Question

直線l經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，且與拋物線交于P、Q兩點，由P、Q分別向準(zhǔn)線引垂線PR、QS，垂足分別為R、S，如果|PF|=2，|QF|=8，M為RS的中點，則|MF|的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意作出輔助線：取PQ中點N，連接MN、MP、MQ，結(jié)合拋物線的定義在梯形PQSR中證明MN=|PQ|，從而得出三角形PQM是直角三角形，再通過邊角邊證明出
△MPR≌△MPF，從而MF是Rt△PMQ斜邊上的高，最后可以用射影定理得出MF|²=8×2=16，從而得出線段MF的長度．
解答：解：如圖，取PQ中點N，連接MN、MP、MQ，根據(jù)拋物線的定義可得
|PF|=|PR|，|QF|=|QS|，
∴MN=（|PR|+|SQ|）=|PQ|
∴△PQM是以PQ為斜邊的直角三角形
∵M(jìn)N∥PR
∴∠RPM=∠NMP
∵|MN|=|NP|，∠NMP=∠FPM
∴△MPR≌△MPF（邊角邊）
∴∠MRP=∠PFM=90°即MF⊥PQ
在Rt△PMQ中，MF是斜邊上的高，根據(jù)射影定理得：
|MF|²=|PF|•|QF|⇒|MF|²=8×2=16
∴|MF|=4（舍負(fù)）
故答案為：4
點評：本題以拋物線為例，考查了圓角曲線的定義與性質(zhì)，以及直線與圓錐曲線的關(guān)系，屬于中檔題．合理地利用平面幾何的性質(zhì)進(jìn)行推理，利用題中的幾何關(guān)系加以解決，是本題解決的關(guān)鍵．