Question

4．如圖，△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，四邊形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BD；
（2）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，三棱錐M-ADE的體積為$\frac{\sqrt{2}}{12}$？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面幾何知識可證明AM⊥BM，故而BM⊥平面ADM，于是BM⊥AD，結(jié)合AD⊥DM可得AD⊥平面BDM，于是AD⊥BD；
（2）令$\frac{DE}{BD}=λ$，則E到平面ADM的距離d=λ•BM=$\sqrt{2}λ$，代入棱錐的體積公式即可得出λ，從而確定E的位置．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，AB=2BC=2MC=2，
∴BM=AM=$\sqrt{2}$，
∴BM²+AM²=AB²，即AM⊥BM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面DAM，又DA?平面DAM，
∴BM⊥AD，又AD⊥DM，DM?平面BDM，BM?平面BDM，DM∩BM=M，
∴AD⊥平面BDM，∵BD?平面BDM，
∴AD⊥BD．
（2）由（1）可知BM⊥平面ADM，BM=$\sqrt{2}$，
設(shè)$\frac{DE}{BD}=λ$，則E到平面ADM的距離d=$\sqrt{2}λ$．
∵△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，AM=$\sqrt{2}$，
∴AD=DM=1，
∴V_M-ADE=V_E-ADM=$\frac{1}{3}{S}_{△ADM}•d$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}λ$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
∴$λ=\frac{1}{2}$．
∴E為BD的中點．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．