Question

12．已知sinαtanα=$\frac{3}{2}$，且0＜α＜π．
（1）求α的值；
（2）求函數(shù)f（x）=4cosxcos（x-α）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα的值，可得α的值．
（2）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）∵sinαtanα=$\frac{3}{2}$，∴2sin²α=3cosα，即 2cos²α+3cosα-2=0，求得cosα=$\frac{1}{2}$，或cosα=-2（舍去）．
∵0＜α＜π，∴α=$\frac{π}{3}$．
（2）函數(shù)f（x）=4cosxcos（x-α）=4cosx[cosx•$\frac{1}{2}$+sinx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$]=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
在[0，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[1，2]，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1∈[2，3]，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．