Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

5

5

，過F₁的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且△MNF₂周長為4

5

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過橢圓中心，且斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)，若△APB的面積為

40

9

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用△MNF₂周長為4

5

，求出a，利用離心率e=

5

5

，求出c，進(jìn)而求出b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）線AB的方程為y=kx，線段AB的垂直平分線為y=-

1

k

x，分別與橢圓方程聯(lián)立，求出P的坐標(biāo)，|AB|，利用△APB的面積為

40

9

，建立方程，即可求k的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵△MNF₂周長為4

5

，
∴4a=4

5

，
∴a=

5

，
∵離心率e=

5

5

，
∴c=1，
∴b=

a2-c2

=2，
∴橢圓E的方程為

x2

5

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）直線AB的方程為y=kx，線段AB的垂直平分線為y=-

1

k

x，
y=-

1

k

x與橢圓方程聯(lián)立，可得x=±

20k2 4k2+5

，
∴可得P（

20k2 4k2+5

，-

1

k

20k2 4k2+5

），
P到直線AB的距離為d=|

k2+1

k

•

20k2 4k2+5

|
y=kx與橢圓方程聯(lián)立，可得x=±

20 4+5k2

∴|AB|=

1+k2

•2

20 4+5k2

∴S_△ABP=

1

2

|AB|d|=

1

2

1+k2

•2

20 4+5k2

•|

k2+1

k

•

20k2 4k2+5

|
∵△APB的面積為

40

9

，
∴

1

2

1+k2

•2

20 4+5k2

•|

k2+1

k

•

20k2 4k2+5

|=

40

9

，
∴k⁴-2k²+1=0，
∴k=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．