Question

在銳角△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

x

=（2sinB，

3

），

y

=（2cos²B-1，cosB），且向量

x

與

y

共線．
（1）求角B的大小；
（Ⅱ）如果b=1，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（I）由向量

x

與

y

共線，求得tan2B=

3

，再結(jié)合0＜B＜

π

2

，求得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理、基本不等式求得ac≤2+

3

，可得s△ABC=

1

2

acsinB≤

1

4

(2+

3

)，從而求得△ABC的面積S_△ABC的最大值．

解答： 解：（I）由向量

x

與

y

共線有：2sinBcosB=

3

(2cos2B-1)，即tan2B=

3

．
又0＜B＜

π

2

，所以0＜2B＜π，則2B=

π

3

，即B=

π

6

．
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，即 1=a2+c2-

3

ac≥(2-

3

)ac，
所以ac≤2+

3

，當且僅當a=c時等號成立，
所以s△ABC=

1

2

acsinB≤

1

4

(2+

3

)，即△ABC的面積S_△ABC的最大值為

2+ 3

4

．

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，余弦定理、基本不等式的應用，屬于基礎題．