Question

11．已知定義域為R的函數(shù)$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù)．
（1）求a、b的值；
（2）若對任意的x∈R，不等式f（x²-x）+f（2x²-t）＜0恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，f（-x）=f（x），可求a，b值；
（2）首先得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性和奇偶性整理不等式可得f（x²-x）＜-f（2x²-t）=f（-2x²+t），代入得x²-x＞-2x²+t，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)且0∈R，∴f（0）=0即$\frac{b-1}{a+2}$=0，
∴b=1，…（2分）
∴$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^{x+1}}}}$
又由f（1）=-f（-1）知$\frac{1-2}{a+4}$=-$\frac{1-\frac{1}{2}}{a+1}$，
∴a=2…（4分）
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$．
（2）證明設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{1-{2^{x_1}}}}{{2+{2^{{x_1}+1}}}}-\frac{{1-{2^{x_2}}}}{{2+{2^{{x_2}+1}}}}=\frac{1}{2}（\frac{{1-{2^{x_1}}}}{{1+{2^{x_1}}}}-\frac{{1-{2^{x_2}}}}{{1+{2^{x_2}}}}）$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（1+{2^{x_1}}）（1+2{x^{x_2}}）}}=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（1+{2^{x_1}}）（1+{2^{x_2}}）}}$
∵y=2^x在（-∞，+∞）上為增函數(shù)且x₁＜x₂，
∴${2^{x_2}}＞{2^{x_1}}$
且y=2^x＞0恒成立，∴$1+{2^{x_1}}＞0，1+{2^{x_2}}＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）＞0    即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)…（8分）
∵f（x）是奇函數(shù)f（x²-x）+f（2x²-t）＜0等價于f（x²-x）＜-f（2x²-t）=f（-2x²+t）…（10分）
又∵f（x）是減函數(shù)，∴x²-x＞-2x²+t
即一切x∈R，3x²-x-t＞0恒成立  …（12分）
∴△=1+12t＜0，即t＜$-\frac{1}{12}$…（14分）

點評 考查了奇函數(shù)的性質(zhì)和利用單調(diào)性，奇偶性解決實際問題．