Question

3．已知函數f（x）=e^2x-ax+2（a∈R）
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間
（2）在曲線y=f（x）上是否存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），使得該曲線在A，B兩點處的切線相交于點P（0，t）？若存在，求實數t的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）原問題等價于函數y=g（x）與y=2-t至少有2個不同的零點，根據函數的單調性求出g（x）的最小值，從而求出t的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=2e^2x-a，
a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
a＞0時，f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，+∞）遞增；
（2）以點A為切點的切線方程為：y-${e}^{{2x}_{1}}$+ax₁-2=（2${e}^{{2x}_{1}}$-a0（x-x₁），
∵點P（0，t）在切線上，∴t-${e}^{{2x}_{1}}$+ax₁-2=（2${e}^{{2x}_{1}}$-a）（-x₁），
整理得（2x₁-1）${e}^{{2x}_{1}}$=2-t，
令g（x）=（2x-1）e^2x，
則原問題等價于函數y=g（x）與y=2-t至少有2個不同的零點，
∵g′（x）=4xe^2x，g′（x）＞0⇒x＞0，g′（x）＜0⇒x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
且當x＜0時，g（x）＜0，
∴-1=g（0）＜2-t＜0，解得：2＜t＜3，
故t∈（2，3）．

點評 不同考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．