Question

12．直線(xiàn)mx+y-3m+3=0與拋物線(xiàn)y²=4x的斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{5}{2}$，0）
• B． （-∞，-$\frac{5}{2}$）∪（0，+∞）
• C． （-∞，0）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 設(shè)斜率為1的平行弦的方程為y=x+t，代入拋物線(xiàn)的方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得中點(diǎn)軌跡方程，聯(lián)立已知直線(xiàn)，求得交點(diǎn)，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)斜率為1的平行弦的方程為y=x+t，
代入拋物線(xiàn)的方程y²=4x，可得x²+（2t-4）x+t²=0，
則△=（2t-4）²-4t²＞0，解得t＜1，
設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
且x₁+x₂=4-2t，可得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2-t，2），
即有平行弦的中點(diǎn)軌跡方程為y=2（x＞1），
代入直線(xiàn)mx+y-3m+3=0，可得x=$\frac{3m-5}{m}$＞1，
即為$\frac{2m-5}{m}$＞0，解得m＜0或m＞$\frac{5}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查兩直線(xiàn)的交點(diǎn)的求法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．