Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC＜2，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若直線PA與平面EAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求平面PAC與平面ACE夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得AC⊥PC，再由勾股定理可得AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，進(jìn)而可判平面EAC平面PBC；
（2）以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，分別可得平面PAC和EAC的法向量，待定系數(shù)可得a值，由向量的夾角公式可得答案．

解答 解：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，∴平面EAC平面PBC；
（2）以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0），
設(shè)P（0，0，a）（a＞0），則E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a）（a＞0），
$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-a），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面PAC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=x+y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0）
同理平面EAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
依題意，設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2a}{\sqrt{{a}^{2}+2}•\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
解得a=1，或a=2（舍去，此時(shí)不滿足PC＜2），
∴$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量法解決立體幾何問(wèn)題，涉及平面與平面垂直的判定，屬中檔題．