Question

8．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且焦距為2$\sqrt{2}$，動弦AB平行于x軸，且|F₁A|+|F₂A|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點P是橢圓C上異于點A，B的任意一點，且直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，若MF₂，NF₂的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得$c=\sqrt{2}$，a=2，結(jié)合隱含條件得到b²=a²-c²=2，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），則A（-x₀，y₀），由直線方程的斜截式求得直線AP的方程，取x=0，求得y值，即可得到M坐標，同理可得N的坐標．由兩點求斜率得到k₁，k₂，借助于A，B在橢圓C上，得到k₁•k₂=1，則$|{k}_{1}+{k}_{2}|=|{k}_{1}|+|{k}_{2}|≥2\sqrt{|{k}_{1}||{k}_{2}|}=2$．再由k₁=k₂時M，N重合，即A，B重合與條件不符，得k₁≠k₂．即等號不成立，從而求得k₁+k₂的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵焦距為$2\sqrt{2}$，∴$2c=2\sqrt{2}$，$c=\sqrt{2}$．
又|F₁A|+|F₂A|=4，得2a=4，∴a=2．
則b²=a²-c²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）設B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），則A（-x₀，y₀），
直線AP的方程為$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}+{x}_{0}}（x-{x}_{1}）$，令x=0，得$y=\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{0}}$．
故$M（0，\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{0}}）$，
同理可得$N（0，\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}）$．
∴${k}_{1}=-\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{0}）}$，${k}_{2}=-\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{\sqrt{2}（{x}_{1}-{x}_{0}）}$
因此${k}_{1}•{k}_{2}=\frac{1}{2}•\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$．
∵A，B在橢圓C上，∴${{y}_{1}}^{2}=2-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}，{{y}_{0}}^{2}=2-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$．
故${k}_{1}•{k}_{2}=\frac{1}{2}•\frac{{{x}_{1}}^{2}（2-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}）-{{x}_{0}}^{2}（2-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=1
∴$|{k}_{1}+{k}_{2}|=|{k}_{1}|+|{k}_{2}|≥2\sqrt{|{k}_{1}||{k}_{2}|}=2$．
又∵當k₁=k₂時M，N重合，即A，B重合，這與條件不符，∴k₁≠k₂．
因此k₁+k₂的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了“舍而不求”的解題思想方法，考查了學生的整體運算能力，是壓軸題．