Question

正三棱柱ABC-A′B′C′中，側(cè)棱長為2，底面邊長為1，點M是BC的中點，在直線CC′上求一點N，使得MN⊥AB．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：建立空間直角坐標(biāo)系求出

MN

，

AB1

的坐標(biāo)表示，讓它們的數(shù)量積為零即可．

解答： 解：
取B₁C₁中點H，連接MH，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

MB

，

MA

，

MH

兩兩垂直，故分別以

MB

，

MA

，

MH

為x、y、z軸，建立空間坐標(biāo)系．
設(shè)CN=a（0＜a＜2），則A（0，

3

2

，0），B₁（

1

2

，0，2），M（0，0，0），N（-

1

2

，0，a），
∴

AB

=（

1

2

，-

3

2

，2），

MN

=（-

1

2

，0，a）．
由

AB

•

MN

=（

1

2

，-

3

2

，2）•（-

1

2

，0，a）=0，有-

1

4

+2a=0，解得a=

1

8

，
故在棱CC₁上的點N滿足CN=

1

8

，使MN⊥AB．

點評：本題屬于開放性命題，考查線線垂直，可以用立體幾何中的向量法來解決，其中建立空間直角坐標(biāo)系求出

MN

，

AB1

的坐標(biāo)表示是關(guān)鍵，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．