Question

5．如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．
（1）若△AMN的外接圓面積為S，求S的值；
（2）如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小（即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)）．

Answer 1

分析 （1）在△AMN中，利用正弦定理求得△AMN的外接圓的半徑R，可得△AMN的外接圓的面積．
（2）設(shè)∠AMN=θ，0°＜θ＜120°，可得AN、∠ANP的值，再利用余弦定理求得AP²的解析式，利用正弦函數(shù)的最值，求得AP的最大值．

解答 解：（1）在△AMN中，由正弦定理可知：$\frac{2}{sin60°}$=2R，故△AMN的外接圓的半徑 R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△AMN的外接圓的面積S=πR²=$\frac{4π}{3}$．
（2）設(shè)∠AMN=θ，0°＜θ＜120°，在△AMN中，$\frac{AN}{sinθ}$=$\frac{2}{sin60°}$，AN=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ，
又因為NP=2，∠ANP=180°-θ，∴AP²=AN²+NP²-2AN•NP•cos（180°-θ）=$\frac{16}{3}$sin²θ+4+2•$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•2cosθ=$\frac{16}{3}$sin（2θ-30°）+$\frac{20}{3}$．
∵0°＜θ＜120°，∴-30°＜2θ-30°＜210°，故當(dāng)2θ-30°=90°時，AP²取得最大值為$\frac{16}{3}$+$\frac{20}{3}$=12，
故AP的最大值為2$\sqrt{3}$，此時，AM=AN=2．

點評 本題主要考查整弦定理、余弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．