Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos2x，則f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時的值域是[-1，$\sqrt{2}$]；若將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到的圖象恰好關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱，則實數(shù)a的最小值為$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
故函數(shù)f（x）的值域為[-1，$\sqrt{2}$]，
若將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到：
y=$\sqrt{2}$sin[2（x+a）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+2a-$\frac{π}{4}$），
若此時函數(shù)恰好關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱，
則2×$\frac{π}{4}$+2a-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
即2a=$\frac{π}{4}$+kπ，
a=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
故當k=0時，實數(shù)a的最小值為$\frac{π}{8}$，
故答案為：$[-1，\sqrt{2}]$；$\frac{π}{8}$

點評 本題主要考查三角函數(shù)值域以及三角函數(shù)圖象平移的判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．