Question

9．如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P，Q，D，E分別是所在棱的中點，F(xiàn)，G是分別BB₁，CC₁上的點，滿足$\frac{BG}{{G{B_1}}}=\frac{CF}{{F{C_1}}}$=3．
（Ⅰ）證明：PQ∥平面DEFG；
（Ⅱ）若該三棱柱的所有棱長為2，求四棱錐Q-DEFG的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BQ，CQ，解直角三角形可得BQ∥GD，CQ∥FE，然后利用面面平行的判定證明平面QBC∥平面DEFG；
（Ⅱ）延長GD，F(xiàn)E，QA₁，則三線必相交于一點O，把四棱錐Q-DEFG的體積轉化為三棱錐G-OQF的體積得答案．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
連接BQ，CQ，
取BB₁中點M，連接QM，則△BMQ為Rt△，
在Rt△BMQ中，tan∠QBM=$\frac{QM}{BM}$，
在Rt△GB₁D中，tan∠GB₁D=$\frac{D{B}_{1}}{G{B}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}}{\frac{1}{2}M{B}_{1}}=\frac{QM}{BM}$，
∴∠∠QBM=∠GB₁D，則BQ∥GD，
同理可證CQ∥FE，又BQ∩CQ=Q，則平面QBC∥平面DEFG；
（Ⅱ）延長GD，F(xiàn)E，QA₁，則三線必相交于一點，設為O，
∵D、E分別是所在棱的中點，
故而DE∥FG，DE=$\frac{1}{2}FG$，∴${S}_{DEFG}=\frac{3}{4}{S}_{△OFG}$，
又∵三棱柱的所有棱長為2，∴OQ=$\frac{3}{2}$，
G到平面OQF的距離等于B到平面ACC₁A₁的距離，
而三角形ABC的邊AC上的高線$\sqrt{3}$即為距離，也就是所求棱錐的高的值，
∴${V}_{Q-DEFG}=\frac{3}{4}{V}_{Q-OFG}=\frac{3}{4}{V}_{G-OQF}$=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

點評 本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．