Question

11．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊．已知sinC=$\frac{2}{3}$sinB，c=2，cosA=$\frac{5}{6}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin（2A-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，由題意利用正弦定理求得b的值，再利用余弦定理，求得a的值．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式求得sin2A的值、cos2A的值，再利用兩角差的正弦公式求得sin（2A-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊．
sinC=$\frac{2}{3}$sinB，∴由正弦定理可得c=$\frac{2b}{3}$．
∵c=2，∴b=3，再根據(jù)cosA=$\frac{5}{6}$=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+4{-a}^{2}}{12}$，∴a=$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{5}{6}$，∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{11}}{6}$，∴sin2A=2sinAcosA=$\frac{5\sqrt{11}}{18}$，
cos2A=2cos²A-1=$\frac{7}{18}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin2Acos$\frac{π}{6}$-cos2Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{5\sqrt{11}}{18}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{7}{18}•\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{33}-7}{36}$．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．