Question

9．已知點(diǎn)O是△ABC的外心，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，2c²-c+b²=0，則$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{4}$，2）
• B． （-$\frac{1}{8}$，0）
• C． （-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{24}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 由b²=c-2c²＞0得出c的范圍，用$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{BC}$，根據(jù)向量的數(shù)量積定義得出$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$ 關(guān)于c的函數(shù)，由此求出此函數(shù)的值域．

解答 解：如圖所示：過O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，則D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．
∴$\overrightarrow{BC}•AO$=（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=AC•AE-AB•AD=$\frac{^{2}{-c}^{2}}{2}$，
∵2c²-c+b²=0，∴b²=c-2c²＞0，解得0＜c＜$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{c-{3c}^{2}}{2}$=-$\frac{3}{2}$${（c-\frac{1}{6}）}^{2}$+$\frac{1}{24}$，故當(dāng)c=$\frac{1}{6}$時(shí)，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$ 取得最大值為$\frac{1}{24}$；
當(dāng)c趨于$\frac{1}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$ 趨于最小值為-$\frac{1}{8}$，則$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范圍是（-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{24}$]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量級(jí)運(yùn)算，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．