Question

8．已知命題p：?x∈R，|sinx|＞a有解：命題q：?x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin²x+asinx-1≥0，若p∧q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：?x∈R，|sinx|＞a有解，由于0≤|sinx|≤1，可得a＜|sinx|_max．命題q：由題意可得：a≥$\frac{1-si{n}^{2}x}{sinx}$，sinx∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．令sinx=t，$\frac{1}{sinx}$-sinx=$\frac{1}{t}$-t=g（t），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出，由于p∧q為真，可得p與q都為真命題，即可得出．

解答 解：命題p：?x∈R，|sinx|＞a有解，
∵0≤|sinx|≤1，∴a＜1．
命題q：?x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin²x+asinx-1≥0，
∴a≥$\frac{1-si{n}^{2}x}{sinx}$，sinx∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．令sinx=t，
則$\frac{1}{sinx}$-sinx=$\frac{1}{t}$-t=g（t），g′（t）=$-\frac{1}{{t}^{2}}$-1＜0，
∴g（t）在t∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$上單調(diào)遞減，
∴g（t）∈$[0，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．∴$a≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵p∧q為真，∴p與q都為真命題，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．