Question

11．設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，記α=$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△ABC}}$，β=$\frac{{S}_{△COA}}{{S}_{△ABC}}$，γ=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$，證明：α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 過O分別作AC，AB的平行線OD，OE，分別交AB于D，交AC于E，則β=$\frac{{S}_{△COA}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，γ=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AE}{AC}$，利用α+β+γ=1，$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：過O分別作AC，AB的平行線OD，OE，分別交AB于D，交AC于E，則
β=$\frac{{S}_{△COA}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AD}{AB}$，γ=$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=$\frac{AD}{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{AE}{AC}$•$\overrightarrow{AC}$=$β\overrightarrow{AB}+γ\overrightarrow{AC}$=$β\overrightarrow{OB}+γ\overrightarrow{OC}$$-（β+γ）\overrightarrow{OA}$，
∵α+β+γ=1，
∴α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．