Question

19．已知圓C的圓心在x軸正半軸上，半徑為5，且與直線4x+3y+17=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（-1，$\frac{3}{2}$），過(guò)點(diǎn)p作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若AB=8，求直線l的方程；
（3）設(shè)P是直線x+y+6=0上的點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．求證：經(jīng)過(guò)A，P，C三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，計(jì)算可得圓的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，注意討論斜率是否存在，再由點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到直線方程；
（3）設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得經(jīng)過(guò)A，P，C，的三點(diǎn)的圓，即為以PC為直徑的圓，求得圓的方程，運(yùn)用曲線系恒過(guò)定點(diǎn)的方法整理，解方程即可得到所有定點(diǎn)．

解答 （1）解：設(shè)圓心C（a，0），（a＞0），
則由直線和圓相切的條件：d=r，
可得$\frac{|4a+0+17|}{\sqrt{16+9}}$=5，解得a=2（負(fù)值舍去），
即有圓C的方程為（x-2）²+y²=25；
（2）解：若直線l的斜率不存在，即l：x=-1，
代入圓的方程可得，y=±4，即有|AB|=8，成立；
若直線l的斜率存在，可設(shè)直線l：y-$\frac{3}{2}$=k（x+1），
即為2kx-2y+3+2k=0，
圓C到直線l的距離為d=$\frac{|4k-0+3+2k|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$=$\frac{|6k+3|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$，
由AB=8，即有2$\sqrt{25-n6wfv8o^{2}}$=8，
即有d=3，即$\frac{|6k+3|}{\sqrt{4{k}^{2}+4}}$=3，
解得k=$\frac{3}{4}$，
則直線l的方程為3x-4y+9=0；
（3）證明：由于P是直線x+y+6=0上的點(diǎn)，
設(shè)P（m，-m-6），
由切線的性質(zhì)可得AC⊥PA，
經(jīng)過(guò)A，P，C，的三點(diǎn)的圓，即為以PC為直徑的圓，
則方程為（x-2）（x-m）+y（y+m+6）=0，
整理可得（x²+y²-2x+6y）+m（y-x+2）=0，
可令x²+y²-2x+6y=0，且y-x+2=0，
解得x=2，y=0，或x=-2，y=-4．
則有經(jīng)過(guò)A，P，C三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，
所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），（-2，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查相交和相切的關(guān)系，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式、切線的性質(zhì)和圓恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，屬于中檔題．