Question

20．f（x）=sinx，g（x）=-9（$\frac{x}{π}$）²+9（$\frac{x}{π}$）-$\frac{3}{4}$，x∈[0，2π]，則使g（x）≥f（x）的x值的范圍是[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．

Answer 1

分析 求得g（x）的對稱軸，求得頂點坐標，求f（x）的頂點坐標，再由g（x）=f（x）的解，可得所求x的范圍．

解答 解：當x∈[0，2π]，
g（x）=-9（$\frac{x}{π}$）²+9（$\frac{x}{π}$）-$\frac{3}{4}$的對稱軸為$\frac{x}{π}$=$\frac{1}{2}$，
即有x=$\frac{1}{2}$π，此時g（x）=-9×$\frac{1}{4}$+9×$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$，
當x=$\frac{1}{2}$π，此時f（x）=sinx=1．
由sinx=-9（$\frac{x}{π}$）²+9（$\frac{x}{π}$）-$\frac{3}{4}$，x∈[0，2π]，
可得x₁=$\frac{π}{6}$，x₂=$\frac{5π}{6}$，
由于點（$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{2}$）在點（$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$）上，
則當$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{5π}{6}$時，g（x）≥f（x）．
故答案為：[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．

點評 本題考查正弦函數和二次函數的圖象和性質，考查對稱性的運用，考查不等式的解法，屬于中檔題．